文章目录
3.5Hahn-banach定理3.6共轭算子与共轭空间
3.5Hahn-banach定理
定义 4.15： 设F是一个非空集合，\prec为
F
\mathcal{F}
F 上的一个二 元关系。如果 (1)
∀
α
∈
F
\forall \alpha \in \mathcal{F}
∀α∈F 有
α
≺
α
\alpha \prec \alpha
α≺α; (反身性) (2)
α
≺
β
,
β
≺
γ
⟹
α
≺
γ
\alpha \prec \beta, \quad \beta \prec \gamma \Longrightarrow \alpha \prec \gamma
α≺β,β≺γ⟹α≺γ; (传递性) (3)
α
≺
β
,
β
≺
α
⟹
α
=
β
\alpha \prec \beta, \quad \beta \prec \alpha \Longrightarrow \alpha=\beta
α≺β,β≺α⟹α=β; (反对称性) 则称
≺
\prec
≺ 为
F
\mathcal{F}
F 上的一个半序, 称
(
F
,
≺
)
(\mathcal{F}, \prec)
(F,≺) 为半序集。 如果
∀
α
,
β
∈
F
\forall \alpha, \beta \in \mathcal{F}
∀α,β∈F, 有
α
≺
β
\alpha \prec \beta
α≺β 或
β
≺
α
\beta \prec \alpha
β≺α 成立, 则称
(
F
,
≺
)
(\mathcal{F}, \prec)
(F,≺) 为全序集。
设
(
F
,
≺
)
(\mathcal{F}, \prec)
(F,≺) 为半序集
α
∈
F
\alpha \in \mathcal{F}
α∈F, 如果
F
\mathcal{F}
F 中没有比
α
\alpha
α 大的 元 (即若
α
≺
β
\alpha \prec \beta
α≺β, 则
α
=
β
\alpha=\beta
α=β ), 则称
α
\alpha
α 为极大元。 设
A
⊆
F
,
β
∈
F
A \subseteq \mathcal{F}, \beta \in \mathcal{F}
A⊆F,β∈F, 如果
∀
α
∈
A
\forall \alpha \in A
∀α∈A 有
α
≺
β
\alpha \prec \beta
α≺β, 则称
β
\beta
β 为
A
A
A 的一个上界。 注: 极大元不一定是最大元, 即使存在也末必唯 -。
引理 4.16: (Zorn) 设
(
F
,
≺
)
(\mathcal{F}, \prec)
(F,≺) 为半序集, 且其中任一全序 子集在
F
\mathcal{F}
F中均有上界, 则
F
\mathcal { F }
F 有极大元。
定理 4.17: (Hahn-Banach定理)设
X
X
X 为实线性空间,
M
⊆
M \subseteq
M⊆
X
X
X 为子空间,
p
(
x
)
p(x)
p(x) 为
X
X
X 上的次加、正齐性泛函,
f
f
f 是
M
M
M 上的线性泛函且
f
(
x
)
≤
p
(
x
)
,
∀
x
∈
M
f(x) \leq p(x), \forall x \in M
f(x)≤p(x),∀x∈M 。则存在
X
X
X 上的 线性泛函
F
F
F 使
F
(
x
)
=
f
(
x
)
,
∀
x
∈
M
F(x)=f(x), \forall x \in M
F(x)=f(x),∀x∈M 且
F
(
x
)
≤
p
(
x
)
,
∀
x
∈
X
F(x) \leq p(x), \forall x \in X
F(x)≤p(x),∀x∈X。
注：
F
F
F不唯一
定理 4.18： 设
X
X
X 为复线性空间,
M
⊆
X
M \subseteq X
M⊆X 为复子空 间,
p
(
x
)
p(x)
p(x) 为
X
X
X 上的次加、绝对齐性泛函,
f
f
f 为
M
M
M 上的 复线性泛函且
∣
f
(
x
)
∣
≤
p
(
x
)
,
∀
x
∈
M
|f(x)| \leq p(x), \quad \forall x \in M
∣f(x)∣≤p(x),∀x∈M 。则存在
X
X
X 上的复 线性泛函
g
g
g 使
g
∣
M
=
f
\left.g\right|_{M}=f
g∣M=f 以及
∣
g
(
x
)
∣
≤
p
(
x
)
,
∀
x
∈
X
|g(x)| \leq p(x), \quad \forall x \in X
∣g(x)∣≤p(x),∀x∈X 。
记号：
X
∗
=
B
(
X
,
K
)
X^*=\mathscr B(X,\mathbb K)
X∗=B(X,K)（有界线性泛函全体）是
X
X
X的共轭空间
定理 4.19：（保范延拓定理）设
X
X
X 赋范,
M
⊆
X
M \subseteq X
M⊆X 为子空间,
f
∈
M
∗
f \in M^{*}
f∈M∗, 则 存在
g
∈
X
∗
g \in X^{*}
g∈X∗ 使
g
∣
M
=
f
\left.g\right|_{M}=f
g∣M=f 且
∥
g
∥
=
∥
f
∥
M
\|g\|=\|f\|_{M}
∥g∥=∥f∥M 。
推论：设
X
X
X是赋范空间，则
X
∗
≠
∅
X^*\not= \empty
X∗=∅
推论：
B
(
X
,
X
1
)
\mathscr B(X,X_1)
B(X,X1)是Banach空间
⟺
\iff
⟺
X
1
X_1
X1是Banach空间。
3.6共轭算子与共轭空间
设
T
∈
B
(
X
,
X
1
)
T \in B\left(X, X_{1}\right)
T∈B(X,X1), 对任意
f
∈
X
1
∗
f \in X_{1}^{*}
f∈X1∗ 定义
T
∗
(
f
)
=
f
∘
T
T^{*}(f)=f \circ T
T∗(f)=f∘T, 即
T
∗
(
f
)
(
x
)
=
f
(
T
x
)
=
f
∘
T
(
x
)
,
∀
x
∈
X
T^{*}(f)(x)=f(T x)=f \circ T(x), \quad \forall x \in X
T∗(f)(x)=f(Tx)=f∘T(x),∀x∈X 则
T
∗
(
f
)
∈
X
∗
T^{*}(f) \in X^{*}
T∗(f)∈X∗, 所以
T
∗
T^{*}
T∗ 是一个从
X
1
∗
X_{1}^{*}
X1∗ 到
X
∗
X^{*}
X∗ 的映射。 事实上,
T
∗
T^{*}
T∗ 是有界线性算子, 称之为
T
T
T 的共轭算子。
定理 4.20： (1) 设
T
∈
B
(
X
,
X
1
)
T \in B\left(X, X_{1}\right)
T∈B(X,X1), 则
T
∗
∈
B
(
X
1
∗
,
X
∗
)
T^{*} \in B\left(X_{1}^{*}, X^{*}\right)
T∗∈B(X1∗,X∗) 且
∥
T
∗
∥
=
\left\|T^{*}\right\|=
∥T∗∥=
∥
T
∥
\|T\|
∥T∥; (2)
(
T
1
+
T
2
)
∗
=
T
1
∗
+
T
2
∗
,
(
α
T
)
∗
=
α
T
∗
\left(T_{1}+T_{2}\right)^{*}=T_{1}^{*}+T_{2}^{*}, \quad(\alpha T)^{*}=\alpha T^{*}
(T1+T2)∗=T1∗+T2∗,(αT)∗=αT∗; (3)
(
S
T
)
∗
=
T
∗
S
∗
(S T)^{*}=T^{*} S^{*}
(ST)∗=T∗S∗; (4)
T
T
T 有有界逆
⟹
T
∗
\Longrightarrow \quad T^{*}
⟹T∗ 也有有界逆且
(
T
∗
)
−
1
=
(
T
−
1
)
∗
\left(T^{*}\right)^{-1}=\left(T^{-1}\right)^{*}
(T∗)−1=(T−1)∗ 。